ここでは，√５に収束する数列を考えることにします．

2^2-5・1^2=-1

9^2-5・4^2=+1

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x^2-xy-y^2=(-1)^nをペル方程式に変換する

{(2x-y)/2}^2-5{y/2}^2=(-1)^n

X^2-5Y^2=(-1)^n

X＝1／2｛{(2+√5}^(n)+{(2-√5)}^(n)｝

Y=１／2√5{(2+√5)}^(n)-{(2-√5}^(n)｝

φ^3=2+√5,　(-1/φ)^3=2-√5　

X＝√5／2√5｛φ^(3n)+{-1/φ^(3n)｝

Y=１／2√5{φ^(3n)-{-1/φ}^(3n)｝

y=１／√5{φ^(3n)-{-1/φ}^(3n)｝=F3n

x=X+y/2=1/2｛φ^(3n)+{-1/φ^(3n)｝+1／2√5{φ^(3n)-{-1/φ}^(3n)｝

=(1+√5) ／2√5{φ^(3n)}+(-1+√5) ／2√5{(-1/φ)^(3n)｝

x=1／√5{φ^(3n+1)}-1 ／√5{(-1/φ)^(3n+1)｝=F3n+1

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これで

x=Fn+1,y=Fn←→x^2-xy-y^2=(-1)^n

が証明された。

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x^2-xy-y^2=(-1)^nをペル方程式に変換するのではなく、

漸化式x^2-x-1=0として計算すると隣接するフィボナッチ数が得られる。

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