［Ｑ］ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1のとき、

(ａ／ｂ+ｂ／ａ＋１／ａｂ）が整数となることを示せ

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［Ｑ］ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1，ｃ＝Ｆ2k-1Ｌ2kＦ2k+1のとき、

（ｂ＋ｃ）／ａ＋（ｃ＋ａ）／ｂ＋（ａ＋ｂ）／ｃが整数となることを示せ

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［Ｑ］ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1のとき、

(ａ／ｂ+ｂ／ａ＋１／ａｂ）が整数値3となることを示せ

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［Ｑ］ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1，ｃ＝Ｆ2k-1Ｌ2kＦ2k+1のとき、

（ｂ＋ｃ）／ａ＋（ｃ＋ａ）／ｂ＋（ａ＋ｂ）／ｃが整数値(L2n)^2+3となることを示せ

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（ａ＋ｂ＋ｃ）（１／ａ＋１／ｂ＋１／ｃ）-３＝(L2n)^2+3

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(x+y+xy(x+y))(1/x+1/y+1/xy(x+y))

=(x+y+xy(x+y))(y(x+y)+x(x+y)+1)/xy(x+y))

=(x+y)(xy+1){(x+y)^2+1}/xy(x+y)

=(xy+1){(x+y)^2+1}/xy=(x+y)^2+6がなりたつとしたら

(xy+1){(x+y)^2+1}=xy(x+y)^2+6xy

xy+(x+y)^2+1=6xy

(x+y)2-5xy+1=0

x^2-3xy+y^2+1=0となって、逆もフィボナッチ数となるのである。

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ペル数列ではx^2-6xy+y^2+4=0であるから

(x+y)^2-8xy+4=0

4xy+(x+y)^2+4=12xy

(x+y+xy(x+y))(1/x+1/y+4/xy(x+y))＝(x+y)^2+12でなければならず、対称性が損なわれてしまう。

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これ以外に可能性はないだろうか？

(x+y+xy(x+y))(1/x+1/y+1/xy(x+y))

=(x+y+xy(x+y))(y(x+y)+x(x+y)+1)/xy(x+y))

=(x+y)(xy+1){(x+y)^2+1}/xy(x+y)

=(xy+1){(x+y)^2+1}/xy=a(x+y)^2+bがなりたつとしたら

=(xy+1){(x+y)^2+1}=axy(x+y)^2+bxy,a=1ならば

xy+(x+y)^2+1=bxy

(x+y)2+(1-b)xy+1=0

ペル数列ではx^2-6xy+y^2+4=0であるからNG

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(x+y+2xy(x+y))(1/x+1/y+2/xy(x+y))

=(x+y+2xy(x+y))(y(x+y)+x(x+y)+2)/xy(x+y))

=(x+y)(2xy+1){(x+y)^2+2}/xy(x+y)

=(2xy+1){(x+y)^2+2}/xy=a(x+y)^2+bがなりたつとしたら

=(2xy+1){(x+y)^2+2}=axy(x+y)^2+bxy,a=2ならば

4xy+(x+y)^2+2=bxy

(x+y)2+(4-b)xy+2=0

ペル数列ではx^2-6xy+y^2+4=0であるからNG

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(x+y+cxy(x+y))(1/x+1/y+4/xy(x+y))

=(x+y+cxy(x+y))(y(x+y)+x(x+y)+4)/xy(x+y))

=(x+y)(cxy+1){(x+y)^2+4}/xy(x+y)

=(cxy+1){(x+y)^2+4}/xy=a(x+y)^2+bがなりたつとしたら

=(cxy+1){(x+y)^2+4}=axy(x+y)^2+bxy,a=cならば

4cxy+(x+y)^2+4=bxy

(x+y)2+(4c-b)xy+4=0

ペル数列ではx^2-6xy+y^2+4=0であるから4c-b+2=-6

c=1であればｂ＝12

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