三角形ABCの三辺の長さをa,b,cとする。このとき、角Aの二等分線の長さhは？

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二等分線は辺aをc:bに内分するからca/(b+c):ba/(b+c)

cost1={ca/(b+c)}^2+h^2-c^2}/2cah/(b+c)

cost2={ba/(b+c)}^2+h^2-b^2}/2bah/(b+c)

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これらは補角をなすから

2bah/(b+c)・{ca/(b+c)}^2+h^2-c^2}=-2cah/(b+c)・{ba/(b+c)}^2+h^2-b^2}

b・{ca/(b+c)}^2+h^2-c^2}=-c・{ba/(b+c)}^2+h^2-b^2}

(b+c)・h^2=-c・{ba/(b+c)}^2-b^2}-b・{ca/(b+c)}^2-c^2}

(b+c)・h^2=-b^2c・{a/(b+c)}^2-bc^2・{a/(b+c)}^2+b^2c+bc^2=bc(b+c){1-{a/(b+c)}^2}

h^2=bc{1-{a/(b+c)}^2}

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中線の長さと比較してみる。

h^2=(b^2+c^2)/2-1/4・a^2={2(b+c)^2-4bc-a^2}/4

4bc{1-{a/(b+c)}^2}=2(b+c)^2-4bc-a^2

4bc-2(b+c)^2={4bc/(b+c)^2-1}a^2

-2(b^2+c^2)={4bc/(b+c)^2-1}a^2

-2(b^2+c^2)(b+c)^2={4bc-(b+c)^2}a^2

-2(b^2+c^2)(b+c)^2=-(b-c)^2a^2

2(b^2+c^2)(b^2-c^2)^2=a^2

2(b^4-c^4)(b^2-c^2)=a^2

この大小比較によって結果が異なることになる

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