五角形の辺をa,b,c,d,e,それに向かい合う対角線をf,g,h,i,jとする。

左右対称な五角形に限定する。まず、a, b=c=d=e, f,g=j,h=iの場合を考える

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

cost1=(a^2+b^2-i^2)/2ab

cost2=(b^2^2+b^2-j^2)/2b^2

cost3=(b^2+b^2-f^2)/2b^2

t1+t2+t3/2=3π/2

t3/2=3π/2-t1-t2

t3=3π-2t1-2t2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

cost3=-cos(2t1+2t2)=-cos2t1cos2t2+sin2t1sin2t2

=-(2cost1^2-1)(2cost2^2-1)+4cost1cost2sint1sint2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

これを探索するのは大変であるが、検算だけであれば簡単にできる。

a=3,b=8,f=12,g=12,h=10

cost1=-9/16

cost2=-1/8

cost3=-1/8

cost3=-(2cost1^2-1)(2cost2^2-1)+4cost1cost2sint1sint2

=-47/128・31/32+4・9/16・1/8{1-(9/16)^2}^1/2{1-(1/8)^2}^1/2

=-1/8

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

６通りまでの３乗数の和として表される最小の数はわかっている。

［１］３通り

Ta(3)=８７５３９３１９＝１６７^3＋４３６^3＝２２８^3＋４２３^3＝２５５^3＋４１４^3

［２］４通り

Ta(4)=６９６３４７２３０９２４８

＝２４２１^3＋１９０８３^3＝５４３６^3＋１８９４８^3＝１０２００^3＋１８０７２^3

＝１３３２２^3＋１６６３０^3

［３］５通り

Ta(5)=４８９８８６５９２７６９６２４９６

＝３８７８７^3＋３６５７５７^3＝１０７８３９^3＋３６２７５３^3＝２０５２９２^3＋３４２９５２^3

＝２２１４２４^3＋３３６５８８^3＝２３１５１８^3＋３３１９５４^3

［４］６通り

Ta(6)２４１５３３１９５８１２５４３１２０６５３４４

＝５８２１６２^3＋２０９０６２０６^3＝３０６４１７３^3＋２８８９４８０３^3＝８５１９２８１^3＋２８６５７４８７^3

＝１６２１８０６８^3＋２７０９３２０８^3＝１７４９２４９６^3＋２６５９０４５２^3＝１８２８９９２２^3＋２６２２４３６６^3

なお、

Ta(6)=56461300^3-53813536^3=49162964^3-45576680^3

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

超タクシー数は無限に存在するが、最初の６つしかわかっていない。

Ta(n)がすべてのnについて存在することは１９３８年、ハーディ、ライトにより証明された。

一方、４個の平方数によって２通りの和で表される最小の数は、635318657である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=2,3,4,5に対して、楕円曲線x^3+y^3=Ta(n)のランクを計算すると、それぞれ2,4,5,4になるという。

２個の３乗数の和として８通りの表示を持つ最小の正整数は137513849003496

互いの素な２個の3乗数の和として5通りの表示を持つ最小の正整数は506433677359393である

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝