ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

　　ｃk＝［τ［ｎτ］］＝１，４，６，９，１２，１４，１７，・・・

　　ｄk＝［τ［ｎτ^2］］＝３，８，１１，１６，２１，２４，２９，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

とすると，

　　ａk＝ｃk＋ｄk

となって．ｂk，ｃk，ｄkの３系列は相補的数列であることが，スコレムによって証明されている．

　　ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることは証明済み。

　　ｃk＝［τ［ｎτ］］＝１，４，６，９，１２，１４，１７，・・・

　　ｄk＝［τ［ｎτ^2］］＝３，８，１１，１６，２１，２４，２９，・・・

は2群で排他的、2群併せて相補的であることを証明したい。

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【補題】

ｆ（ｎ）＝［ｎα］

ｇ（ｎ）＝［ｎβ］

このとき

ｇ（ｎ）＝ｆ（ｆ（ｎ））＋１は［ｎβ］＝［α［ｎα］］＋１が成り立つためには

α＝τ、β＝τ^2である。逆に、α＝τ、β＝τ^2ならば

［ｎβ］＝［α［ｎα］］＋１が成り立つ。

これは

　　０＜［ｎα^2］-α［ｎα］＜１

に同値である。

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　さらに

　　α＝τ，β＝τ^2＝τ＋１

が

　　αβ＝α＋β，αβｎ＝αｎ＋βｎ

を満たすことから，

　　［α［βｎ］］＝［αｎ］＋［βｎ］

が証明される

これは

　　−１＜［α［βｎ］］ー［αｎ］ー［βｎ］＜１

に同値である。

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