これで

x=Fn,y=Fn+2←→x^2-3xy+y^2=(-1)^n

が証明された。

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［Ｑ］　(ａ^2+ｂ^2＋１）／ａｂ＝ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋１／ａｂが割り切れる整数(a,b)の組み合わせを求めよ。

　1996年、シェプラーは(a,b)=(F(2n+1),F(2n-1))になることを証明したとあるが…

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(ａ^2+ｂ^2＋１）／ａｂ＝３であれば、ａ＝Ｆ2k-1，ｂ＝Ｆ2k+1はよいと思われるが、これを拡張すると

検証すると

[1](ａ^2+ｂ^2-１）／ａｂ＝３であれば、ａ＝Ｆ2k，ｂ＝Ｆ2k+2・・・OK

[2](ａ^2+ｂ^2-5）／ａｂ＝３であれば、ａ＝L2k-1，ｂ＝L2k+1・・・OK

[3](ａ^2+ｂ^2+5）／ａｂ＝３であれば、ａ＝L2k，ｂ＝L2k+2・・・OK

[4](ａ^2+ｂ^2+4）／ａｂ＝６であれば、ａ＝P2k-1，ｂ＝P2k+1・・・OK、

[5](ａ^2+ｂ^2-4）／ａｂ＝６であれば、ａ＝P2k，ｂ＝P2k+2・・・OK

一般式はすでに求められている

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un+1=Mun+un-1, u1=L, u2=N,u3=MN+L

M=1, L=1, N=1 (Fibonacci)

M=1, L=1, N=3 (Lucas)

M=2, L=1, N=2 (Pell)

M=2, L=2, N=6 (Pell-Lucas)

x^2-(M^2+2)xy+y^2={M^2(L^2-N^2)+M^3LN}(-1)^n

x=un, y=un+2

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(Pell-Lucas)

x^2-6xy+y^2={-4(32)+96}(-1)^2=-32(-1)^n

[1](ａ^2+ｂ^2-32）／ａｂ＝6であれば、ａ＝Q2k-1，ｂ＝Q2k+1・・・OK

[2](ａ^2+ｂ^2+32）／ａｂ＝6であれば、ａ＝Q2k，ｂ＝Q2k+2・・・OK

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