連続した２数の積ｎ（ｎ＋１）は平方数にならないが，それを２で割ったｎ（ｎ＋１）は平方数となることがある．たとえば，ｎ＝８では

　　８・９／２＝３６＝６^2

　このことをシンボリックに△＝□と書くことにする．これが成り立つのはｎ＝８のときだけだろうか？

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［Ｑ１］　△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

　ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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三角数tnが平方数m^2であれば、t3n+4m+1も平方数であり、tn,tn+2m,t3n+4m+1は等比級数をなす

（ｎ，ｍ）＝（１，１）→t1,t3,t8→1,6,36→1・36=6^2

（８，６）→t8,t20,t49→36,210,1225→36・1225=210^2

（４９，３５）→t49,t119,t288→1225,7140,41616→1225・41616=7140^2

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