一見異なる形をしている2つの数

α＝√13＋(10+2√13)^1/2

β＝(5+2√3)^1/2+{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

は本当に同じ数なのだろうか？　すぐには信じがたいが、α＝βである。

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２乗を繰り返してルートを消去。高次方程式が得られたら因数分解して共通因子を探すしかないと思われる。

x=√13＋(10+2√13)^1/2

x^2=13+10+2√13+2√13(10+2√13)^1/2

(x^2-23)/2=√13+√13(10+2√13)^1/2

{(x^2-23)/2}^2=13+13(10+2√13)+26(10+2√13)^1/2

{(x^2-23)/2}^2=143+26√13+26(10+2√13)^1/2

{(x^2-23)/2}^2=143+26x

x^4-46x^2+529=572+104x

x^4-46x^2-104x-43=0

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x=(5+2√3)^1/2+{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

x^2=(5+2√3)+18-2√3+2(65-26√3)^1/2+2(5+2√3)^1/2{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

x^2-23=2(65-26√3)^1/2+2(5+2√3)^1/2{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

(x^2-23)/2=(65-26√3)^1/2+(5+2√3)^1/2{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

{(x^2-23)/2}^2=(65-26√3)+(5+2√3){18-2√3+2(65-26√3)^1/2}+2(65-26√3)^1/2(5+2√3)^1/2{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

{(x^2-23)/2}^2=(65-10√3)+(78+26√3)+2(5+2√3)(65-26√3)^1/2+2(65-26√3)^1/2(5+2√3)^1/2{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

=143+26(5+2√3)^1/2+26{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-23)/2}^2=143+26x

x^4-46x^2-104x-43=0

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