フェルマーの小定理より，ｐを素数とすると，ｐは常に２^(p-1)−１を割り切る．

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ）

［Ｑ］ｐ^2が２^(p-1)−１を割り切るような素数ｐはあるだろうか？

　　２^(p-1)−１＝０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

［Ａ］ヴィーフェリッヒ素数はｐ＝１０９３，３５１１が知られています．

　　２^1092−１は１０９３^2で割り切れる．

　　２^3510−１は３５１１^2で割り切れる．

　一方，

　　２^(p-1)−１≠０　　（ｍｏｄ　ｐ^2）

すなわち，ヴィーフェリッヒ素数でない素数は無限個あることが示されている（実際にはヴィーフェリッヒ素数はいまのところ１０９３と３５１１しか知られていない）．

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［Ｑ］a^p-1=1 (mod p^2)?

ヤコビは

3^10=1 mod11^2

9^10＝1 mod11^2

14^28=1 mod29^2

18^36＝1 mod37^2

を示した。

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【６】分割数の合同式

　ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

ｐ（２５ｎ＋２４）＝０　　（ｍｏｄ５^2）

　　ｐ（１２５ｎ＋９９）＝０　　（ｍｏｄ５^3）

　　ｐ（４９ｎ＋４７）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

ｐ（４９ｎ＋３３）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

ｐ（４９ｎ＋４０）＝０　　（ｍｏｄ７^2）

ｐ（１２１ｎ＋１１６）＝０　　（ｍｏｄ１１^2）

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

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