■ユークリッド数(その107)
u1=2,un+1=un^2-un+1で定義される数列を考える。
u1=2,u2=3,u3=7,u4=43,u5=1807,・・・
エジプト分数表示
1/2+1/3+1/7+1/43+1/1807+・・・=1
をもつ
uk=1+u0u1・・・uk-1
uk=uk-1(uk-1-1)+1
uk-1=1+u0u1・・・uk-2
uk-1-1=u0u1・・・uk-2
uk-1(uk-1-1)+1=u0u1・・・uk-1+1=uk
uk-1=uk-1(uk-1-1)
1/(uk-1)=1/(uk-1-1)-1/uk-1
Σ1/(uk-1)=Σ{1/(uk-1-1)-1/uk-1} (k=2-5)
1/2+1/6+1/42+1/1806=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/6-1/7)+(1/42-1/43)
1/1806=(1/1-1/2)+(-1/3)+(-1/7)+(-1/43)
1=1/2+1/3+1/7+1/43+1/1806
===================================
1=1/2+1/3+1/6
1=1/2+1/3+1/7+1/42
1=1/2+1/3+1/7+1/43+1/1806
-1/2=-1/2
-1/2+1/3=-1/2・1/3
-1/2+1/3+1/7=-1/2・1/3・1/7
-1/2+1/3+1/7+1/43=-1/2・1/3・1/7・1/43
a=1,b=2
f(a/b)=(a^3+b)/(a+b^3)を繰り返すと
1/2,1/3,4/28=1/7,8/344=1/43,・・・
1/2→3/9=1/3→4/28=1/7→8/344=1/43
uk^2+1はuk+1^2+1を割り切る
uk+1^2+1=(uk^2-uk+1)^2+1=(uk^2-2uk+2)(uk^2+1)
(uk+uk+1)はukuk+1-1を割り切る
ukuk+1-1=uk(uk^2-uk+1)-1=uk^3-uk^2+uk-1=(uk^2+1)(uk-1)=(uk+uk^2-uk+1)(uk-1)=(uk+uk+1)(uk-1)
===================================