u1=2,un+1=un^2-un+1で定義される数列を考える。

u1=2,u2=3,u3=7,u4=43,u5=1807,・・・

エジプト分数表示

1/2+1/3+1/7+1/43+1/1807+・・・＝1

をもつ

uk=1+u0u1・・・uk-1

uk=uk-1(uk-1-1)+1

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1=1/2+1/3+1/6

1=1/2+1/3+1/7+1/42

1=1/2+1/3+1/7+1/43+1/1806

-1/2=-1/2

-1/2+1/3=-1/2・1/3

-1/2+1/3+1/7=-1/2・1/3・1/7

-1/2+1/3+1/7+1/43=-1/2・1/3・1/7・1/43

a=1,b=2

f(a/b)=(a^3+b)/(a+b^3)を繰り返すと

1/2,1/3,4/28=1/7,8/344=1/43,・・・

uk^2+1はuk+1^2+1を割り切る

uk+1^2+1=(uk^2-uk+1)^2+1=(uk^2-2uk+2)(uk^2+1)

(uk+uk+1)はukuk+1-1を割り切る

ukuk+1-1=uk(uk^2-uk+1)-1=uk^3-uk^2+uk-1=(uk^2+1)(uk-1)=(uk+uk^2-uk+1)(uk-1)=(uk+uk+1)(uk-1)

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