Σ(1,∞)１／（ａ^2＋ｎ^2）＝π／（２ａｔａｎｈ（ａπ））−１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)（−１）^nｰ1／（ａ^2＋ｎ^2）＝−π／（２ａｓｉｎｈ（ａπ））＋１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)１／（ａ^2−ｎ^2）＝π／（２ａｔａｎ（ａπ））−１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)（−１）^nｰ1／（ａ^2−ｎ^2）＝−π／（２ａｓｉｎ（ａπ））＋１／（２ａ^2）

　　Σ(1,∞)１／（１＋ａ^2ｎ^2）^2＝π^2／（２ｓｉｎｈ（ｘ／ａ））^2＋π／（４ａｔａｎｈ（ｘ／ａ））−１／２

　　Σ(1,∞)１／（１−ａ^2ｎ^2）^2＝π^2／（２ｓｉｎ（ｘ／ａ））^2＋π／（４ａｔａｎ（ｘ／ａ））−１／２

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Σ1/(n^2-n+1)=Σ1/{(n-1/2)^2+3/4}=Σ4/{(2n-1)^2+3}であるから

　　Σ(1,∞)１／（ｎ^2+3）＝π／（２√3ｔａｎｈ（√3π））−１／（6）

の奇数項のみを加算したものの4倍に等しい。

　　Σ(1,∞)１／（ｎ^2+3）の偶数項のみ加算すると

Σ1/{(2n)^2+3}=1/4Σ1/{(n)^2+3/4}であるから

　　Σ(1,∞)１／（ｎ^2+3/4）＝π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π））−１／（3/2）

の1/4になる。

したがって、求める値は

4｛π／（２√3ｔａｎｈ（√3π））−１／（6）-1/4｛π／（√3ｔａｎｈ（√3/2π））−１／（3/2）｝｝

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