■レーマーの定数(その9)

ここでは

 f(x)=C・1/(1+n^2)   (−∞<n<∞)

について考えてみますが,

  Σ(-∞,∞)1/(1+n^2)

 =π(1+exp(−2π))/(1−exp(−2π))

 =π/tanh(π)

より,

  C=tanh(π)/π

となります.すなわち,連続コーシー分布の1/πがtanh(π)/πに変わった形をしているというわけです.

  Σ(-∞,∞)1/(1+n^2)=π/tanh(π)

  Σ(-∞,∞)1/(n+α)^2=π^2/(sin(πa))^2

  α=1/2→ Σ(-∞,∞)1/(n+1/2)^2=π^2=6ζ(2)

はパーセバルの等式の応用として得られる公式で,とくに

  Σ(-∞,∞)1/(1+n^2)=π/tanh(π)

  Σ(-∞,∞)(−1)^n/(1+n^2)=π/sinh(π)

は,ゼータ関数の値を直接表すものではないもののゼータの香りが漂う美しい式と考えられています.

 この結果をさらに一般化すると

  Σ(-∞,∞)1/((α/2π)^2+n^2)=π(2π/α)/tanh(α/2)

  α=2π→Σ(-∞,∞)1/(1+n^2)=π/tanh(π)

  α=π→ Σ(-∞,∞)1/(1/4+n^2)=2π/tanh(π/2)

を得ることができます.

 見方によっては逆正接関数と双曲線正接関数の間の変換式になっているというわけです.

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