ここでは

　ｆ（ｘ）＝Ｃ・１／（１＋ｎ^2）　　　（−∞＜ｎ＜∞）

について考えてみますが，

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）

　＝π（１＋ｅｘｐ（−２π））／（１−ｅｘｐ（−２π））

　＝π／ｔａｎｈ（π）

より，

　　Ｃ＝ｔａｎｈ（π）／π

となります．すなわち，連続コーシー分布の１／πがｔａｎｈ（π）／πに変わった形をしているというわけです．

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

や

　　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋α）^2＝π^2／（ｓｉｎ（πａ））^2

　　α＝１／２→　Σ(-∞,∞)１／（ｎ＋１／２）^2＝π^2＝６ζ(2)

はパーセバルの等式の応用として得られる公式で，とくに

　　Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

　　Σ(-∞,∞)（−１）^n／（１＋ｎ^2）＝π／ｓｉｎｈ（π）

は，ゼータ関数の値を直接表すものではないもののゼータの香りが漂う美しい式と考えられています．

　この結果をさらに一般化すると

　　Σ(-∞,∞)１／（（α／２π）^2＋ｎ^2）＝π（２π／α）／ｔａｎｈ（α／２）

　　α＝２π→Σ(-∞,∞)１／（１＋ｎ^2）＝π／ｔａｎｈ（π）

　　α＝π→　Σ(-∞,∞)１／（１／４＋ｎ^2）＝２π／ｔａｎｈ（π／２）

を得ることができます．

　見方によっては逆正接関数と双曲線正接関数の間の変換式になっているというわけです．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝