ペル数列以外に対してもに対してはx^2-bxy+y^2は成り立つはずである。

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連続する4項をx,y,nx+my,m(nx+my)+ny=mnx+(m^2+n)yとする。

ｘが奇数項のとき、

x^2-bx(nx+my)+(nx+my)^2

y^2-by{mnx+(m^2+n)y}+{mnx+(m^2+n)y}^2

ｘが偶数項のとき、

x^2-bx(nx+my)+(nx+my)^2

y^2-by{mnx+(m^2+n)y}+{mnx+(m^2+n)y}^2

の符号が変化する

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x^2の係数：1-bn+n^2

y^2の係数：m^2

xyの係数：-bm+2mn

x^2の係数：m^2n^2

y^2の係数：1-b(m^2+n)+(m^2+n)^2

xyの係数：-bmn+2mn(m^2+n)

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1-bn+n^2=-m^2n^2

m^2=-1+b(m^2+n)-(m^2+n)^2

-bm+2mn=bmn-2mn(m^2+n)

b=(1+n^2+m^2n^2)/n→n=1でなければならない

b={m^2+1+(m^2+n)^2}/(m2+n)

b={2mn+2mn(m^2+n)}/m(1+n)={2n+2n(m^2+n)}/(1+n)

b=(2+m^2)

b={m^2+1+(m^2+1)^2}/(m2+1)=1+(m^2+1)=2+m^2

b={2+2(m^2+1)}/2=1+(m^2+1)=2+m^2

が得られたことになる

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b=2mではなかったことになる

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{-m^2x^2+m^2y^2+{-(M^2+2)M+2M}xy}^2=X^2

{-M^2x^2+M^2y^2-M^3xy}^2=X^2

X=M^2(1-N^2)+M^3N

{x^2+Mxy-y^2}=X^2

X=(1-N^2)+MN

で与えられる。

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