ペル列に対してはx^2-6xy+y^2は成り立つはずである。

f(1,5)=-4

f(2,12)=4

f(5,29)=-4

f(12,70)=4

f(29,169)=-4

f(18,47)=-5

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ペル数列の連続する4項をx,y,x+2y,2x+5yとする。

ｘがペル数列の奇数項のとき、

x^2-6x(x+2y)+(x+2y)^2=-4

y^2-6y(2x+5y)+(2x+5y)^2=+4

ｘがフィボナッチ数列の偶数項のとき、

x^2-6x(x+2y)+(x+2y)^2=4

y^2-6y(2x+5y)+(2x+5y)^2=-4

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いずれの場合も

{x^2-6x(x+2y)+(x+2y)^2}{y^2-6y(2x+5y)+(2x+5y)^2}=-16

が成り立つ。

{x^2-6x^2-12xy+x^2+4xy+4y^2}={-4x^2-8xy+4y^2}

{y^2-12xy-30y^2+4x^2+20xy+25y^2}={4x^2+8xy-4y^2}

-16(x^2+2xy-y^2)^2=-16

(x^2+2xy-y^2)^2=1

x^4+2x^2y^2+y^4+4x^3y-4xy^3=1

これで

f(x,y)=4xy^3-2x^2y^2-4x^3y-y^4-x^4+1=0

が得られたことになる

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