リュカ列に対してもx^2-3xy+y^2は成り立つはずである。

f(1,4)=5

f(3,7)=-5

f(4,11)=5

f(3,18)=-5

f(11,29)=5

f(18,47)=-5

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リュカ数列の連続する4項をx,y,x+y,x+2yとする。

ｘがフィボナッチ数列の奇数項のとき、

x^2-3x(x+y)+(x+y)^2=5

y^2-3y(x+2y)+(x+2y)^2=-5

ｘがフィボナッチ数列の偶数項のとき、

x^2-3x(x+y)+(x+y)^2=-5

y^2-3y(x+2y)+(x+2y)^2=5

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いずれの場合も

{x^2-3x(x+y)+(x+y)^2}{y^2-3y(x+2y)+(x+2y)^2}=-25

が成り立つ。

{x^2-3x^2-3xy+x^2+2xy+y^2}={-x^2-xy+y^2}

{y^2-3xy-6y^2+x^2+4xy+4y^2}={x^2+xy-y^2}

-(x^2+xy-y^2)^2=-25

(x^2+xy-y^2)^2=25

x^4-x^2y^2+y^4+2x^3y-2xy^3=25

これで

f(x,y)=2xy^3+x^2y^2-2x^3y-y^4-x^4+25=0

が得られたことになる

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