ある２次形式が７３までの素数を表現できるならば，それはすべての素数を表現できる（バールガバ）．

　バールガバがコンウェイの一歩先をいくこの巧妙な結果を得たのは，彼がプリンストン大学の院生のときであった．もちろん，７３までの素数とは

　　２，３，５，７，１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，

　　４１，４３，４７，５３，５９，６１，６７，７１，７３

である．

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　オイラーの公式ｎ^2＋ｎ＋４１のｎをｎ−１に変換すればｎ^2−ｎ＋４１，ｎ−４０に変換すればｎ^2−７９ｎ＋１６０１が与えられます．１変数の２次多項式ではｎ^2＋ｎ＋１７や２ｎ^2＋２９なども高い確率で素数を生成します．

　それでは，多変数の高次多項式ではどうでしょうか．１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，素数全体をあるひとつのディオファントス方程式の解として表すことにも成功しています．すなわち，すべての素数をつくる式を生み出したことになるのですが，その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．これらの多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．

　すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．

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2a^2+3b^2+5c^2+7d^2+11e^2+13f^2+17g^2+19h^2+23i^2+29j^2+31k^2+37l^2+41m^2+43n^2+47o^2+53p^2+59q^2+61r^2+67s^2+71^t^2+73u^2

次数は2であるが、変数はどこまで減らせるのだろうか？

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