一般に

α＝(a^2-b)a-2(a^4-b)√b＋(2a+2√(a^2-b))^1/2

β＝(a+2√b)^1/2+{a^2-4b+a-2√b+2((a^2-4b)a-2(a^2-4b)√b)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

a=11,b=29

α＝√5＋(22+2√5)^1/2

β＝(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

a=5,b=3

α＝√13＋(10+2√13)^1/2

β＝(5+2√3)^1/2+{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

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a,bをa^2≧4bを満たす正の整数とする

y=a-2√b≧0,k=2ay-y^2とする。

このとき、

k=2ay-y^2=y(2a-y)=(a-2√b)(a+2√b)=a^2-4b≧0

よって、

2a+2√k=2a-y+y+2(2ay-y^2)^1/2={(2a-y)^1/2+√k}^2

{2a+2√k}^1/2={(2a-y)^1/2+√k}

√k+{2a+2√k}^1/2=(2a-y)^1/2+√k+√y=(2a-y)^1/2+(k+y+2√ky)^1/2

が成立する。

求める恒等式は

ky＝(a^2-b)a-2(a^4-b)√b＋(2a+2√(a^2-b))^1/2

＝(a+2√b)^1/2+{a^2-4b+a-2√b+2((a^2-4b)a-2(a^2-4b)√b)^1/2}^1/2

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