一見異なる形をしている2つの数

α＝√5＋(22+2√5)^1/2

β＝(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

数値的に検証すると

√5＋(22+2√5)^1/2=7.38118

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2=7.38118

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２乗を繰り返してルートを消去。高次方程式が得られたら因数分解して共通因子を探すしかないと思われる。

x=√5＋(22+2√5)^1/2

x^2=5+22+2√5+2√5(22+2√5)^1/2

(x^2-27)/2=√5+√5(22+2√5)^1/2

{(x^2-27)/2}^2=5+5(22+2√5)+10(22+2√5)^1/2

{(x^2-27)/2}^2=115+10x

x^4-54x^2-40x+269=0

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x=(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2=(11+2√29)+16-2√29+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2-27=2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

(x^2-27)/2=(55-10√29)^1/2+(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=(55-10√29)+(11+2√29){16-2√29+2(55-10√29)^1/2}+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=(55-10√29)+(60+10√29)+2(11+2√29)(55-10√29)^1/2+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

=115+10(11+2√29)^1/2+10{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=115+10x

x^4-54x^2-40x+269=0

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これで、それぞれの数を根とする多項式を見つけることができて、この等式を示すことができた。

f(x)=x^4-x^3-3x^2+x+1＝0

の最も大きな実根をxとするとき、α＝β=4x-1

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もっと一般に

α＝(a^2-b)a-2(a^4-b)√b＋(2a+2√(a^2-b))^1/2

β＝(a+2√b)^1/2+{a^2-4b+a-2√b+2((a^2-4b)a-2(a^2-4b)√b)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

a=11,b=29

α＝√5＋(22+2√5)^1/2

β＝(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

a=5,b=3

α＝√13＋(10+2√13)^1/2

β＝(5+2√3)^1/2+{18-2√3+2(65-26√3)^1/2}^1/2

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