（ａ2−βａ1）＝Ｆk-1Ｆk＋ＦkＦk+1−Ｆk（−１／φ）^k＝Ｆkφ^k

（ａ2−αａ1）＝Ｆk-1Ｆk＋ＦkＦk+1−Ｆkφ^k＝Ｆk（−１／φ）^k

α−β＝Ｆk√５

すなわち

Ｆk-1＋Ｆk+1−（−１／φ）^k＝φ^k

Ｆk-1＋Ｆk+1−φ^k＝（−１／φ）^k

すなわち

Ｆk-1＋Ｆk+1＝φ^k＋（−１／φ）^k

が証明されればよいのであるが，これは証明済みである．

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　　φ^-4＝−３φ＋５ √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３　 √５φ^-3＝４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２ √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１ √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１ √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１ √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１ √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２ √５φ^4＝７φ＋４

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

　　φ＋２＝φ^2＋１＝φ√５＝ｋ

　　（−φ^-1）^4＝−３φ＋５

　　（−φ^-1)^3＝−２φ＋３

　　（−φ^-1）^2＝−φ＋２

　　−φ^-1＝−φ＋１

　　α＝φ^n，β＝（−１／φ）^n

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　　φ^n＝Ｆnφ＋Ｆn-1

　　（−１／φ）^n＝−Ｆnφ＋Ｆn+1

　　φ^n＋（−１／φ）^n＝Ｆn-1＋Ｆn+1

　　φ^n−（−１／φ）^n＝２Ｆnφ＋Ｆn-1−Ｆn+1＝２Ｆnφ−Ｆn＝Ｆn√５

　　φ^n・（−１／φ）^n＝（−１）^n

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