初項u1，第２項u2から始まる増加数列｛un｝を考える。u1,u2,u3,u4,・・・ この数列が2次形式

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2で表される場合、

f(1,0)=u1=a

f(0,1)=u2=c

f(1,1)=u3=a+b+c

f(1,-1)=u0=a-b+c

a,b,cをただ一つ定めることができる。

u3=2(u1+u2)-u0,u4=2(u2+u3)-u1となることが必要になる。

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ここで、元の数列{un}がun+2=Mun+1+Nunと表されるならば

u3=Mu2+Nu1=2(u1+u2)-u0

(M-2)u2=(2-N)u1-u0=(M-2)Mu1+(M-2)Nu0

(M-2)N=-1

(M-2)M=(2-N)

M=1とするとN=1→NG

M=3とするとN=-1→OK

したがって、元の数列はun+2=3un+1-unを満たさなければならない。

フィボナッチ数列の一つおきやリュカ数列の一つおきはこれを満たすので、2次形式で表すことができるのである。

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