f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2とおく。

f(1,0)=a

f(0,1)=b

f(1,1)=a+b+c

f(1,-1)=a-b+c

f(1,1)+f(1,-1)=2{f(1,0)+f(0,1)}が成り立つ。

一般に

f(2x+u,2y+v)+f(u,v)=2{f(x+u,y+v)+f(x,y)}が成り立つ。

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左辺

a(2x+u)^2+b(2x+u)(2y+v)+c(2y+v)^2+au^2+buv+cv^2

=a(4x^2+4xu+2u^2)+b(4xy+2xv+2yu+2uv)+c(4y^2+4yv+2v^2)

右辺

2a(x+u)^2+2b(x+u)(y+v)+2c(y+v)^2+2ax^2+2bxy+2cy^2

=2a(2x^2+2xu+u^2)+2b(2xy+xv+yu+uv)+2c(2y^2+2yv+v^2)

左辺＝右辺

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２次形式では演算規則

f(2x+u,2y+v)+f(u,v)=2{f(x+u,y+v)+f(x,y)}

にしたがって、トポグラフを描くことができる。１つの辺の両端のある領域の番号の和は、その辺の両側の領域の番号の和の２倍になるのである。

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