初項１，第２項１から始まるフィボナッチ数列｛Ｆn｝は

　　１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，・・・

　フィボナッチ数は５次式

　　−ｙ^5＋２ｙ^4ｘ＋ｙ^3ｘ^2−２ｙ^2ｘ^3−ｙ（ｘ^4−２）

の正整数値であることが示されています．

どうやってこの式を求めたのでしょうか？

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　ここでは，一つおきにとった数列｛Ｆ2n｝

　　１，３，８，２１，・・・

を考える．より指数関数的に増加する数列が得られる

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2

f(1,0)=1,a=1

f(0,1)=3,c=3

f(1,1)=8,a+b+c=8,b=4

f(1,-1)=a-b+c=0

f(x,y)=x^2+4xy+3y^2

とすると

f(1,0)=1,f(0,1)=3,f(1,1)=8,f(1,2)=21,f(2,3)=55,・・・

これで、一つおきにとったフィボナッチ数列、1,3,8,21,55,・・・を生み出すことができる。

マチアセビッチはこのような２次式からフィボナッチ数列が生成されることを発見していたのであった。

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マチアセビッチは２次式の性質に精通していたと思われる。ここでもうひとつの一つおきにとった数列｛Ｆ2n+1｝

　　１，２，５，１３，３４，８９，・・・

を考える．

f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2

f(1,0)=1,a=1

f(0,1)=2,c=2

f(1,1)=5,a+b+c=5,b=2

f(1,-1)=a-b+c=1

f(x,y)=x^2+2xy+2y^2

とすると

f(1,0)=1,f(0,1)=2,f(1,1)=5,f(1,2)=13,f(2,3)=34,・・・

これで、一つおきにとったフィボナッチ数列、1,2,5,13,34,・・・を生み出すことができる。

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