nの約数の和をσ(n)であらわす。ｎ自身を除いた約数の和をs(n)=σ(n)-nであらわす。

　s(x)=n

が解を持たないようなnを不可触数と呼ぶ。不可触数は無限に存在する。エルデシュは不可触数が無限にあることを証明した。

ｎ＝2,5,52,88,96,,・・・と続く。

88は４番目の不可触数である。その意味は自然数の真約数（その数以外の約数）の和として表せない数ということである。

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ゴールドバッハ予想（いかなる偶数も２つの素数の和で表せる,2n=p+q）はおそらく正しいと思われるので、、5が唯一の不可触数であることがわかる。なぜなら、この予想が正しいとすると、奇数2n+1を考えると,

2n+1=p+q+1(p,qは素数)と表せるならば、s(pq)=2n+1となるからである。

pqの真約数の和は1+p+qであり、2n+1と等しいから、元の奇数は不可触数ではありえない。

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