p^2,q^2において、q/p=(u1^2-v1^2)/2u1v1・(u2^2-v2^2)/2u2v2としてあらわされるならば

p^2+r^2,q^2+r^2が完全平方数になるr^2を求める問題になる。例をあげれば

(9^2-4^2)/2・9・4ｘ(5^2-1^2)/2・5・1＝13/6

(8^2-5^2)/2・8・5ｘ(9^2-1^2)/2・9・1＝13/6

q^2=(13k)^2,p^2=(6k)2,b=r^2

(13k)^2+r^2,(6k)+r^2がともに整数の２乗になるようにできる。

b0, b1, b2, b3, b4

a0:0^2,351^2,650^2,1728^2,3200^2

a1:720^2,801^2,970^2,1872^2,3280^2

a2:1560^2,1599^2,1690^2,2328^2,3560^2

→351^2+720^2=801^2,381^2+1560^2=1599^2となる。

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u^2+v^2,u^2-v^2,2uvは直角三角形のパラメータ表示である。

(9^2-4^2)/2・9・4ｘ(5^2-1^2)/2・5・1＝13/6

(8^2-5^2)/2・8・5ｘ(9^2-1^2)/2・9・1＝13/6

直線のそれに対する垂直線上にp,qの距離にある点を取る。

このとき、p,qがq/p=(u1^2-v1^2)/2u1v1・(u2^2-v2^2)/2u2v2としてあらわされるならば、最初の直線上に互いの距離もp,qからの距離もすべて有理数であるような無限個の点がある。

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q^2=(13k)^2,p^2=(6k)^2,r^2をどうやってスケーリングするのだろうか？

(9^2-4^2)/2・9・4ｘ(5^2-1^2)/2・5・1＝13/6では、6k=72・10=720,13k=65・24＝1560

(8^2-5^2)/2・8・5ｘ(9^2-1^2)/2・9・1＝13/6では、6k=80・18=1440,13k=39・80＝3120

720^2+r^2=m^2

1560^2+r^2=n^2

とスケーリングすることにした。r=0は一つの解になる.

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k(u^2+v^2),k(u^2-v^2),k(2uv)は直角三角形のパラメータ表示である。

u^2-v^2=2uv

u^2-2uv+v^2=2v^2

(u-v)^2=2v^2

u＞(1+√2)vのとき、u^2-v^2＞2uvとなる。

720=2^4・3^2・5

1560=2^3・3・5・13

351=3^3・13

720^2+351^2=3^4{(2^4・5)^2+(3・13)^2,uv=2^3・5,u^2-v^2=3・13,u=8,v=4

1560^2+351^2=(3・13)^2{(2^3・5)^2+(3^2)^2},,uv=2^2・5,u^2-v^2=3^2,u=5,v=4

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720=2^4・3^2・5

1560=2^3・3・5・13

650=2・5^2・13

720^2+650^2=(2・5)^2{(2^3・3^2)^2+(5・13)^2,uv=2^2・3^2,u^2-v^2=5・13,u=9,v=4

1560^2+650^2=(2・5・13)^2{(2^2・3)^2+(5)^2},,uv=2・3,u^2-v^2=5,u=3,v=2

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720=2^4・3^2・5

1560=2^3・3・5・13

1728=2^6・3^3

720^2+650^2=(2^4・3^2)^2{(5)^2+(2^2・3)^2,uv=2・3,u^2-v^2=5,u=3,v=2

1560^2+650^2=(2^3・3)^2{(5・13)^2+(2^3・3^2)^2},uv=2^2・3^2,u^2-v^2=5・13,u=9,v=4

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720=2^4・3^2・5

1560=2^3・3・5・13

3200=2^7・5^2

720^2+650^2=(2^4・5)^2{(3^2)^2+(2^3・5)^2,uv=2^2・5,u^2-v^2=9,u=5,v=4

1560^2+650^2=(2^3・5)^2{(3・13)^2+(2^4・5)^2},uv=2^3・5,u^2-v^2=3・13,u=8,v=5

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検証するのは簡単であるが、解を求めるのは面倒そうである

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