a,bj(J=1…n)において、

　どのa+bjの和も平方数になるｎ個の整数として

a=0,bj=(2^2m-j-2^j-1)^2

a=2^2n+1,bj=(2^2n-j-2^j-1)^2にすれば可能である。

a+bj=2^(2n+1)+2^(4n-2j)-2^2n+2^(2j-2)=2^(4n-2j)+2^2n+2^(2j-2)=(2^2n-j+2^j-1)^2

あるいは、x=u^2-v^2,y=2uv+λv^2とし、

a=(x-y)^2

a=(x+y)^2

a=x^2+λxy+y^2=(u^2-v^2)^2+λ(u^2-v^2)(2uv+λv^2)+(2uv+λv^2)^2

=u^4-2u^2v^2+v^4+4u^2v^2+2λuv^3+λ^2v^4+λ{2u^3v+λu^2v^2-2uv^3-λv^4}

=u^4+2u^2v^2+v^4+λ{2u^3v+λu^2v^2}?

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p^2,q^2において、q/p=(u1^2-v1^2)/2u1v1・(u2^2-v2^2)/2u2v2としてあらわされるならば

p^2+r^2,q^2+r^2が完全平方数になるr^2を求める問題になる。例をあげれば

(6^2-5^2)/2・6・5ｘ(11^2-2^2)/2・11・2＝(8^2-5^2)/2・8・5

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(9^2-4^2)/2・9・4ｘ(5^2-1^2)/2・5・1＝13/6

(8^2-5^2)/2・8・5ｘ(9^2-1^2)/2・9・1＝13/6

q^2=(13k)^2,p^2=(6k)2,b=r^2

(13k)^2+r^2,(6k)+r^2がともに整数の２乗になるようにできる。

b0, b1, b2, b3, b4

a0:0^2,351^2,650^2,1728^2,3200^2

a1:720^2,801^2,970^2,1872^2,3280^2

a2:1560^2,1599^2,1690^2,2328^2,3560^2

→351^2+720^2=801^2,381^2+1560^2=1599^2となる。

0,425^2,576^2,1001^2

-1105^2,-1020^2,-943^2,-468^2

168^2,457^2,6002,1015^2

660^2,785^2,876^2,1199^2

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u^2+v^2,u^2-v^2,2uvは直角三角形のパラメータ表示である。

(9^2-4^2)/2・9・4ｘ(5^2-1^2)/2・5・1＝13/6

(8^2-5^2)/2・8・5ｘ(9^2-1^2)/2・9・1＝13/6

直線のそれに対する垂直線上にp,qの距離にある点を取る。

このとき、p,qがq/p=(u1^2-v1^2)/2u1v1・(u2^2-v2^2)/2u2v2としてあらわされるならば、最初の直線上に互いの距離もp,qからの距離もすべて有理数であるような無限個の点がある。

q^2=(13k)^2,p^2=(6k)^2,r^2

どうやってスケーリングするのだろうか？

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