１^2 ＋２^2 ＋３^2 ＋・・・＋２４^2

＝２４（２４＋１）（２・２４＋１）／６

＝７０^2

　級数の公式：Σｋ^2 ＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６をご存じの方も多いでしょうが、１からｎまでの平方の和が平方数となるのはｎが１か２４の場合しかありません。２５平方の等式ともいうべきこの等式はリュカの問題（１８７３年）として知られています。ｙ^2 ＝ｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）／６の唯一自明でない整数解は（２４，７０）で、それ以外の自明な解がないことは楕円関数やペル方程式を使って証明されています。

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Σｋ^s ＝１^s ＋２^s ＋３^s ＋・・・＋(ｍ-1)^s ＝ｍ^s

の解について考察してみてもおもしろいかと思われます。

(m-1)^s＜1/2・m^sのとき、１^s ＋２^s ＋３^s ＋・・・＋(ｍ-1)^s ＜ｍ^s

(m-2)^s≧1/2・(m-1)^sのとき、１^s ＋２^s ＋３^s ＋・・・＋(ｍ-1)^s＞ｍ^s

ですから、それぞれ各ｍに対してｓを

(1-1/m)^s＞1/2＞(1-1/(m-1))^s

(1-1/(m-1))^s＜1/2＜(1-1/(m-2))^s

の範囲にあるとしてよいのですが、自明でない解は存在しないと予想されています。

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Σｋ^s ＝１^s ＋２^s ＋３^s ＋・・・＋ｎ^s ＝ｍ^s

　さらに一般化した不定方程式

Σｋ^p ＝１^p ＋２^p ＋３^p ＋・・・＋ｎ^p ＝ｍ^q

は（ｐ，ｑ）＝（３，２）のときすべてのｎについて、（ｐ，ｑ）＝（１，２），（３，４），（５，２）のとき無限に整数解をもちますが、当該の不定方程式では、ｓ≧３の場合、ｘ＝ｙ＝１以外に解はないものと予想されています。すなわち、十分条件はおろか充填のための必要条件すら満足しません。有理数解ならば簡単に与えられる問題であっても整数解に限ると格段にむずかしい深遠な問題に昇華するのです。

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