4距離問題ではなく、3距離問題であるが、a,b,cは等差数列をなす無限解として、

a=m^2-2mn+2n^2

b=m^2+2n^2

c=m^2+2mn+2n^2

がある。このとき、,

(s^2+b^2-a^2)^2+(s^2+b^2-c^2)^2=(2bs)^2

s^2=2m^2(m^2+4n^2)

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もし、m=2(u^2+2uv-v^2),n=u^2-2uv-v^2ならば、ｓは整数となるが、dは決して有理数にはならない。

a=85,b=99,c=113,s=140

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a=m^2-2mn+2n^2

b=m^2+2n^2

c=m^2+2mn+2n^2

第４の距離dが整数であるためには、a^2+c^2=b^2+d^2であることも必要で、sが４の倍数で、互いに共通因子がないと仮定するとa,b,c,dは奇数である。sが３(または５)の倍数でなければ, a,b,c,dのうち二つが３(または５)で割り切れる。

d^2=a^2+c^2-b^2

=(m^2-2mn+2n^2)^2+(m^2+2mn+2n^2)^2-(m^2+2n^2)^2

=2{(m^2+2n^2)^2+(2mn)^2}-(m^2+2n^2)^2

=(m^2+2n^2)^2+2(2mn)^2

=(m^2+2n^2)^2+(2√2mn)^2

これは有理辺の直角三角形にはならないだろう

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