合同数とはx^2+ay^2=z^2,x^2-ay^2=t^2が連立整数解を持つ整数aである。x^4-ay^4=u^2の解となるaといってもよい。

x^2+ay^2=z^2,x^2-ay^2=t^2の解を(x,y,z,t)とする。 b=ad^2ならば、x^2+by^2=z^2,x^2-by^2=t^2の解は(dx,y,dz,dt)となつから、aは平方因数を含まない値としてよい。

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aは平方因数を含まない数で、a=5,6,7 (mod8)は合同数と予想されていた。

素数p=5,7 (mod8)なるｐと素数p=3 (mod8)となる2pについて正しいことはわかっている。

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非合同数とわかっているのは、

素数p=3 (mod8)、そのような素数2個の積

素数p=5 (mod8)、そのような素数の積、そのような素数2個の2倍

素数p=9 (mod16)の2倍

素数p=1 (mod8)でa=b^2+c^2で、b+cがaについて非剰余

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