［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝７ｃｍ，ｂ＝１０ｃｍ，ｃ＝１３ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．ｄ＝√２７９

［Ｑ］１辺の長さｄの正三角形がある．その中にある１点をとったら，３頂点からそれぞれａ＝５ｃｍ，ｂ＝７ｃｍ，ｃ＝８ｃｍの距離にあった．１辺の長さｄを求めよ．ｄ＝√１２９

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１辺dの正三角形の３頂点からの距離ａ，ｂ，ｃがすべて整数である解は無限にある。このとき、a,b,c,dのうちいずれか一つがそれぞれ、3，5，7，8で割り切れるのである。

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１辺sの正方形の３頂点からの距離ａ，ｂ，ｃがすべて整数である解は

(s^2+b^2-a^2)^2+(s^2+b^2-c^2)^2=(2bs)^2

を満たす。この解は無限にある。s,a,b,c,dのうち一つが3，一つが4,一つが5で割り切れる。

第４の距離dが整数であるためには、a^2+c^2=b^2+d^2であることも必要で、sが４の倍数で、互いに共通因子がないと仮定するとa,b,c,dは奇数である。sが３(または５)の倍数でなければ, a,b,c,dのうち二つが３(または５)で割り切れる。

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