ファン・デル・ヴェルデンの定理(1927年)

自然数n(h,l)を２組(または任意の有限個のh組)に分けたとき、少なくとも１組は任意に長い等差数列を含む(l+1項)

さらに一般に、l0,l1,・・・,lh-1が与えられたとき、li+1項の等差数列を含む組が常に存在する

W(h;l0,l1,・・・,lh-1)によって、n(h,l)の最小値を表す

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W(2;2,2)=9,W(2;2,3)=18,W(2;2,4)=22,W(2;2,5)=32,W(2;2,6)=46,W(2;2,7)=58,W(2;2,8)=77,W(2;2,9)=97

W(2;3,3)=35,W(2;3,4)=55,W(2;3,5)=73

W(2;4,4)=178

W(3;2,2,2)=27,W(3;2,2,3)=51

W(4;2,2,2,2)=76

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l+1=kと置いたとき、n以下のr個の整数列1≦a1≦a2≦・・・≦ar≦nが必ずｋ項の等差数列を含むようなｒの最小値をrk(n)とする

セメレディの定理(1974年)

rk(n)=o(n)

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