マルコフ方程式の話（その１６）では

　（ｘ＋√（ｘ^2−１））（ｙ＋√（ｙ^2−１））＝（ｚ＋√（ｚ^2−１））

が，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝２ｘｙｚ＋１を書き換えられることを確かめました．

　それに対して

　（ｘ^2−１）（ｙ^2−１）＝（ｚ^2−１）

は

　ｘ^2ｙ^2−ｘ^2−ｙ^2＋１＝（ｚ^2−１）

ここで，ｘ＝ｎ，ｙ＝ｎ＋１，ｚ＝ｚと制限するならば

（ｎ−１）（ｎ＋１）ｎ（ｎ＋２）＝（ｚ^2−１）

ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋ｎ−２）＋１＝ｚ^2

（ｎ^2＋ｎ）（ｎ^2＋ｎ−２）＋１＝ｚ^2

（ｎ^2＋ｎ−１）^2＝ｚ^2

ｚ＝（ｎ^2＋ｎ−１）

となる．

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　これでもよいのだろうが，

　　［参］小林吹代「マルコフ方程式」技術評論社

では，

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝２ｘｙｚ＋２の解（ｎ，ｎ＋１，ｚ）が

　（ｘ＋√（ｘ^2−１））（ｙ＋√（ｙ^2−１））＝（ｚ＋√（ｚ^2−１））

を満たすと仮定して

　　ｚ^2−２ｎ（ｎ＋１）ｚ＋２ｎ^2＋２ｎ−１＝０

　　ｚ＝２ｎ^2＋２ｎ−１

としている．

　ここで，

　　Ｚ＝ｚ−ｘｙ，Ｘ＝ｘ，Ｙ＝ｙ

　（Ｘ^2−１）（Ｙ^2−１）＝（Ｚ^2−１）

を満たすことを確かめておきたい．

　　ｘ^2ｙ^2−ｘ^2−ｙ^2＋１＝ｚ^2−２ｘｙｘ＋ｘ^2ｙ^2−１

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝２ｘｙｚ＋２

　結局

　　Ｚ＝ｚ−ｘｙ，Ｘ＝ｘ，Ｙ＝ｙ

　　Ｚ＝（２ｎ^2＋２ｎ−１）−ｎ^2−ｎ＝ｎ^2＋ｎ−１

同じ答えとなる．

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