ｇ（２）＝４（４平方和定理）は１７７２年ラグランジュにより，ｇ（３）＝９は１９０９年ヴィーフェリッヒによって証明されました．

　４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

そして，１９３９年，ディクソンは２３，２３９以外の整数はすべて８個の３乗数の和で書けることを示しています．（８個の立方数の和としてしか表せない自然数は１５，２２，５０，１１４，１６９，１７５，１８６，２１２，２３１，２３８，３０３，３６４，４２０，４２８，４５４の１５個だけである．）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって

　　「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」

ことが肯定的に証明されています．

　　ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k

　ヒルベルトはｇ（ｋ）の値がｋのみによって表されることを証明したのですが，それはｇ（ｋ）の存在のみを証明したのであって具体的な値を決める方法を示したものではありませんでした．

　１８５９年，リューヴィルはｇ（４）≦５３を示しました．ｇ（４）＝１９ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが，ｇ（４）の限界を与える方法を初めて示したことになります．そのあたりからいろいろな研究がなされることになりました．そして，１９四乗数定理：

　　「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」

は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．

　なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．

　高次形式の理論はまだ発展途上にあり，この最良値を完全に決めることはまだできていなかったのです，それでも，ｋ≧６でのｇ（ｋ）の値はほぼ決まっていて，

　　ｇ（６）＝７３，ｇ（７）＝１４３，ｇ（８）＝２７９，

　　ｇ（９）＝５４８，ｇ（１０）＝１０７９，・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　１７７２年　　ｇ（２）＝４

　　１９０９年　　ｇ（３）＝９

　　１９６４年　　ｇ（５）＝３７

　　１９８６年　　ｇ（４）＝１９

　実は，ガウス記号を用いて

　　ｇ（ｋ）＝２^k＋［（３／２）^k］−２

の式が正しいだろうと予想されています．１≦ｋ≦１０では

　　ｋ　　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９　　10

　　下界　１　　４　　９　　19　　37　　73 143 279 548 1079

となり，ここに示した値はすべてこの式を満たし，かなりの範囲のところまで正しいことが確認されます．

　　ｇ（ｋ）≧２^k＋［（３／２）^k］−２

の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラーです（１７７２年）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝