(u,v)がDx^2-1=y^2の解ならば、

D(2uv)^2+1=(Du^2+v^2)^2

(2uv,Du^2+v^2)=(2uv,2v^2+1)はDx^2+1=y^2の解となる。

2v^2+1は奇数

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(u,v)がDx^2-2=y^2の解ならば、

D(2uv)^2+4=(Du^2+v^2)^2

D(uv)^2+1=((Du^2+v^2)/2)^2

u1=uv,v1=(Du^2+v^2)/2=(2v^2+2)/2=v^2+1はDx^2+1=y^2の解となる。

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(u,v)がDx^2+2=y^2の解ならば、

D(2uv)^2+4=(Du^2+v^2)^2

D(uv)^2+1=((Du^2+v^2)/2)^2

u1=uv,v1=(Du^2+v^2)/2=(2v^2-2)/2=v^2-1はDx^2+1=y^2の解となる。

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(u,v)がDx^2+4=y^2の解であるとき、(u(v^2-1),v(v^2-3)はDx^2+4=y^2の解である

Du^2=v^2-4

Du^2(v^2-1)^2-v^2(v^2-3)^2

=(v^2-4)(v^2-1)^2-v^2{(v^2-1)^2-4(v^2-1)+4}

=-4(v^2-1)^2+4v^2(v^2-1)-4v^2

={-4v^4+8v^2-4}+{4v^4-4v^2}-4v^2

=-4

Du^2,v^2は偶奇は一緒なので

ともに奇数と仮定する→u(v^2-1),v(v^2-3)はともに偶数→2で割るとDx^2+1=y^2となる

ともに偶数と仮定する→u(v^2-1),v(v^2-3)はともに偶数→2で割るとDx^2+1=y^2となる

(u,v)がDx^2+4=y^2の解であるとき、(u(v^2-1)/2,v(v^2-3)/2はDx^2+1=y^2の解である

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(u,v)がDx^2-4=y^2の解であるとき、(uv,v^2+2)はDx^2+4=y^2の解である

Du^2-4=v^2

D(uv)^2-(v^2+2)^2=Du^2v^2-(v^4+4v^2+4)=(v^2+4)v^2-(v^4+4v^2+4)=-4

したがって、

(uv,v^2+2)がDx^2+4=y^2の解であるとき、(1/2uv(v^2+1)(v^2+3),(v^2+2){1/2(v^2+1)(v^2+3)-1})はDx^2+1=y^2の解である

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