［Ｑ］６１ａ^2＋１が平方数ｂ^2となるような，整数ａ，ｂを求めよ．(フェルマーの問題)

1766319049，226153980

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【１】チャクラバーラ法

チャクラバーラ法は近い方程式の解を見つけることから出発する

x=a,y=bがひとつの小さい数値ｋに対するNx^2+k=y^2の解であるとする

たとえばx=1,y=mはNx^2+(m^2-N)=y^2の解である。

このときブラーマグプタの恒等式より

N(am+b)^2+(m^2-N)k=(bm+Na)^2

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解になっている。

m＝8，N＝61 61+(64-61)=64

a=1,b=8,k=b^2-Na^2=3

ｍをam+bがｋで割り切れるようにとるとbm+Naもｋで割り切れることになり、

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解であって、(m^2-N)/kもまた整数である。

そこで、(m^2-N)/kがｋよりも小さくなるように工夫すれば、この操作の繰り返しによりNx^2+1=y^2の整数解が得られることになる。

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バースカラは(m+8)/3が整数となるものの中で、m^2-61ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=7

x=(15)/3=5,y=(56+61)/3=39,k=(49-61)/3=-4

→(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解であることを見つけ出す。

a=5,b=39,k=-4

(5m+39)/4が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=9

x=(15)/3=5,y=(56+61)/3=39,k=(49-61)/3=-4

5m+39=84,x=(5・9+39)/4=21,y=(39・9+61・5)/4=164,k=(81-61)/(-4)=-5

→(21,164)が方程式61x^2-5=y^2の解である。

(21m+164)/5が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=6

a=(126+164)/5=58,b=(164m+61・21)/5=453,k=(36-61)/(-5)=5

→(58,453)が方程式61x^2+5=y^2の解である。

(58m+453)/5が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=9

a=(522+453)/5=195,b=(453m+61・58)/5=(4077+3538)/5=1523,k=(81-61)/5=4

→(195,1523)が方程式61x^2+4=y^2の解である。

(195m+1523)/4が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=7

a=(1365+1523)/4=722,b=(1523m+61・195)/4=(22556)/4=5639,k=(49-61)/4=-3

→(722,5639)が方程式61x^2-3=y^2の解である。

(722m+5639)/3が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=8

a=(5776+5639)/3=3805,b=(5639m+61・722)/3=(89154)/3=29718,k=(64-61)/(-3)=-1

→(3805,29718)が方程式61x^2-1=y^2の解である。

(226153980,1766788898)は61x^2+1=y^2の解である。

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［Ｑ］１０９ａ^2＋１が平方数ｂ^2となるような，整数ａ，ｂを求めよ．(フェルマーの問題)

158070671986249

15140424455100

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x=1,y=10は10^2＝109-9の解である

(m+10)/(-9)が整数となるものの中で、m^2-109ができる限り小さくなるものを見つけ出す→m=8

x=(18)/(-9)=2,y=(80+109)/(-9)=21,k=(64-109)/(-9)=5

→(2,21)はが方程式109x^2+5=y^2の解である

a=2,b=21,k=5

(2m+21)/5が整数となるもののなかで、m^2-109ができる限り小さくなるようなものはｍ=12

x=(45)/5=9,y=(252+218)/5=94,k=(144-109)/5=7

→(9,94)が方程式109x^2+7=y^2の解である。

(9m+94)/7が整数となるもののなかで、m^2-109ができる限り小さくなるようなものはｍ=9

x=(81+94)/7=25,y=(846+981)/7=261,k=(81-109)/7=-4

→(25,261)が方程式109x^2-4=y^2の解である。・・・解につながりそうにない

(25m+261)/4が整数となるもののなかで、m^2-109ができる限り小さくなるようなものはｍ=11

x=(275+261)/4=134,y=(261・11+109・25)/4=1399,k=(121-109)/(-4)=-3

→(134,1399)が方程式109x^2-3=y^2の解である。

(134m+1399)/3が整数となるもののなかで、m^2-109ができる限り小さくなるようなものはｍ=10

x=(1474+1399)/3=913,y=(1399・10+109・134)/3=9532,k=(100-109)/(-3)=3

→(913,9532)が方程式109x^2+3=y^2の解である。

(913m+9532)/3が整数となるもののなかで、m^2-109ができる限り小さくなるようなものはｍ=11

x=(10043+9532)/3=6525,y=(9532・11+109・913)/3=68123,k=(121-109)/(3)=4

→(6525,68123)が方程式109x^2+4=y^2の解である。・・・解につながりそうにない

(6525m+68123)/4が整数となるもののなかで、m^2-109ができる限り小さくなるようなものはｍ=9

x=(58725+68123)/4=31712,y=(68123・9+109・6525)/4=331083,k=(81-109)/(4)=-7

→(31712,331083)が方程式109x^2-7=y^2の解である。

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(6525/2,68123/2)は方程式109x^2+1=y^2の解である。

Du0^2+c0=v0^2

Du1^2+c1=v1^2のとき

D(u0v1+u1v0)^2+c0c1=(Du0u1+v0v1)^2が成り立つ

(2・6525/2・68123/2,109(6525/2)^2+(68123/2)^2)=(195/2,1523/2)は61x^2+1=y^2の解である

これ以上進まない

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(25,261)が方程式109x^2-4=y^2の解である。

1/2uv(v^2+1)(v^2+3)=1/2uv(68122)(68124)=1/2・6525(68122)(68124)

(v^2+2){1/2(v^2+1)(v^2+3)-1}=(68123){1/2(68122)(68123)-1}

は109x^2+1=y^2の解である。

(68122)(68124)＝4640743128

1/2(68122)(68124)＝2320371564

overflowするが

158070671986249

15140424455100

になりそうである。

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(u,v)が方程式Dx^2-4=y^2の解であるとき、(uv,v^2+2)はDx^2+4=y^2の解である。

Du^2-4=v^2

D(uv)^2-(v^2+2)^2=Du^2v^2-(v^4+4v^2+4)=(v^2+4)v^2-(v^4+4v^2+4)=-4

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(uv,v^2+2)がDx^2+4=y^2の解であるとき、(1/2uv(v^2+1)(v^2+3),(v^2+2){1/2(v^2+1)(v^2+3)-1})はDx^2+1=y^2の解である(uv(v^2+1)(v^2+3),(v^2+2){(v^2+1)(v^2+3)-2})はDx^2+4=y^2の解である？

D(uv)^2-(v^2+2)^2=-4

D(uv)^2(v^2+1)^2(v^2+3)^2-(v^2+2)^2{(v^2+1)(v^2+3)-2}^2

D(uv)^2{(v^2+2)^2-1}^2-(v^2+2)^2{(v^2+2)^2-1-2}^2

={-4+(v^2+2)^2}・{(v^2+2)^4-2(v^2+2)^2+1}-(v^2+2)^2{(v^2+2)^4-6(v^2+2)^2+9}

={-4+x^2}・{x^4-2x^2+1}-x^2{x^4-6x^2+9}

=X^6-2x^4+x^2-4x^4+8x^2-4-x^6+6x^4-9x^2

=-4・・・OK

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