楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1,k=(a^2-b^2)^1/2/a,(0,1)の４分弧長Lは

L=a∫(0,1){(1-k^2t^2)/(1-t^2)}^1/2dt

と表される。

第１種完全楕円積分

K(k)=∫(0,1)1/{(1-kx^2)/(1-x^2)}^1/2dx=∫(0,π/2)1/{(1-ksin^2θ)}^1/2dθ=π/2・F(1/2,1/2,1:k)

第２種完全楕円積分

E(k)=∫(0,1){(1-k^2t^2)/(1-t^2)}^1/2dt=∫(0,π/2){(1-ksin^2θ)}^1/2dθ=π/2・F(1/2,-1/2,1:k)

と定義するとL=aE(k^2)

特殊値K(1/2)=π/2・√π/Γ(3/4)^2=π/2・Γ(1/2)/Γ(3/4)^2

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【１】ランデン変換

K({(1-x)/(1+x)}^2)=(1+x)/2・K(1-x^2)

(1+x)E(4x/(1+x)^2)=2E(x^2)-(1-x^2)K(x^2)

E({(1-x)/(1+x)}^2)=1/(1+x)・E(1-x^2)+2x/(1+x)^2・K({(1-x)/(1+x)}^2)

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I(a,b)=1/a・K((a^2-b^2)/a^2)

I((a+b)/2,√ab)=2/(a+b)・K({(a-b)/(a+b)}^2)

K({(a-b)/(a+b)}^2)=(a+b)/2a・K((a^2-b^2)/a^2)

I((a+b)/2,√ab)=I(a,b)

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