I(a,b)=∫(0,π/2)1/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}ｄφ

J(a,b)=∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}ｄφ

により定義する．

k=(a^2-b^2)^1/2/a,k'=(1-k^2)^1/2=b/a

とおくと

I(a,b)=1/a・K(k^2)

J(a,b)=a・E(k^2)=L

(a,b)=(1,k)のとき

I(1,k')=K(k^2)=π/2・F(1/2,1/2,1:k^2)

J(1,k')=E(k^2)=π/2・F(1/2,-1/2,1:k^2)

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I(a,b)=I((a+b)/2,√ab)

すなわち、

∫(0,π/2)ｄφ/√{(acosφ)^2+(bsinφ)^2}＝∫(0,π/2)ｄφ/√{((a+b)/2・cosφ)^2+(√ab・sinφ)^2}

2J((a+b)/2,√ab)=J(a,b)+abI(a,b)

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α=liman,β=limbn

極限α=β=M(a,b)と表すと

M(a,b)=M((a+b)/2,√ab)

M(ca,cb)=cM(a,b)

π/2・F(1/2,1/2,1:k^2)=K(k^2)=π/2M(1,k')

M(1,√(1/2)=Γ(3/4)^2/Γ(1/2)=Γ(3/4)^2/√π

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