まずはおさらいから．３ｖ＝ｐｆ，２ｅ＝ｐｆをオイラーの多面体定理に代入すると

　　ｐｆ／３−ｐｆ／２＋ｆ＝２

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

ですから，

　　ｖ＝ｐｆ／３＝４ｐ／（６−ｐ）

　　ｅ＝ｐｆ／２＝６ｐ／（６−ｐ）

　　ｐ＝６（ｆ−２）／ｆ

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

を代入すると

　　ｐ＝６（ｆ−２）／ｆ＝（２６＋２√３１３）／１２＝５．１１５３

　　ｖ＝２（１７＋√３１３）／３＝２３．１２８

　　ｅ＝１７＋√３１３＝３４．６９２

　　ｆ＝１３．５６４，ｖ＝２３．１２８，ｅ＝３４．６９２

すなわち，泡の平均の姿は２３．１２８個の頂点，３４．６９２本の辺，１３．５６４枚の面からなる面が５．１１５３角形の立体となることがわかります．平均的な泡細胞は１４面体に近いものになるというわけです．

　　ｆ＝１２／（６−ｐ）

ですから，ｐの近似値を

　　ｓｉｎ（π／ｐ）＝√（１／３）

　　ｃｏｓ（π／ｐ）＝√（２／３）

　　ｔａｎ（π／ｐ）＝√（１／２）

あるいは

　　ｐ＝２π／ａｒｃｃｏｓ（−１／３）

から，２次方程式の解として求められば

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６

を得ることができます．しかし，（その１５）ではそのようなうまい方法が思いつきませんでした．

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【１】コクセターの論文

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６，ｐ＝５．１１５３

について調べているうちに，「最密充填と泡」に関するコクセターの論文：

　　Coxeter: Close packing and froth, Illinois Journal of Mathematics 2, 746-758 (1958)

にそのことが収載されていることがわかりました．

　また，当該の論文のリプリントがFORMA誌のケルビン問題特集号

　　Coxeter: Close packing and froth, FORMA 11(3), 271-285 (1996)

に再録されていることがわかりました．取り寄せてみたところ，予想通り，

　　ｆ＝（２３＋√３１３）／３＝１３．５６４

は２次方程式

　　３ｘ^2−４６ｘ＋７２＝０

の解に帰着されることがわかりました．

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