［Ｑ］６１ａ^2＋１が平方数ｂ^2となるような，整数ａ，ｂを求めよ．

1766319049，226153980

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【１】チャクラバーラ法

チャクラバーラ法は近い方程式の解を見つけることから出発する

x=a,y=bがひとつの小さい数値ｋに対するNx^2+k=y^2の解であるとする

たとえばx=1,y=mはNx^2+(m^2-N)=y^2の解である。

このときブラーマグプタの恒等式より

N(am+b)^2+(m^2-N)k=(bm+Na)^2

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解になっている。

m＝8，N＝61 61+(64-61)=64

a=1,b=8,k=b^2-Na^2=3

ｍをam+bがｋで割り切れるようにとるとbm+Naもｋで割り切れることになり、

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解であって、(m^2-N)/kもまた整数である。

そこで、(m^2-N)/kがｋよりも小さくなるように工夫すれば、この操作の繰り返しによりNx^2+1=y^2の整数解が得られることになる。

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a=1,b=8,K=3→61・1^2+3=8^2

(m+8)/3が整数となるものの中で、m^2-61ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=7

x=(am+b)/k=5,y=(bm+Na)/k=39,(m^2-N)/k=-4

→(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解であることを見つけ出す。

61(390)^2+16=(61・25+1521)^2

61(390/4)^2+1=(3046/4)^2

x=195/2,y=1523/2

61(296985/2)^2+1=(61・195・195/4+1523^2/4)^2

61(296985/2)^2+1=(2319525/4+2319529/4)^2

x=296985/2,y=2319527/2

61(688864726095/2)^2+1=(61・296985^2/4+2319527^2/4)^2

overflow

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1766319049，226153980を超えているからどこか間違っていると思われる

(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解である

(5/2,39/2)は61x^2-1=y^2の解である

(195/2,61(5/2)^2+(39/2)^2)=(195/2,1523/2)は61x^2+1=y^2の解である

間違いは見つからない

4で割れない奇数/2同士の逐次計算を続けていっても整数にはなりそうにない。

かくなるうえは手数がかかっても地道な計算に戻ってみたい。

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バースカラは(m+8)/3が整数となるものの中で、m^2-61ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=7

x=(15)/3=5,y=(56+61)/3=39,k=(49-61)/3=-4

→(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解であることを見つけ出す。

a=5,b=39,k=-4

(5m+39)/4が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=9

x=(15)/3=5,y=(56+61)/3=39,k=(49-61)/3=-4

5m+39=84,x=(5・9+39)/4=21,y=(39・9+61・5)/4=164,k=(81-61)/(-4)=-5

→(21,164)が方程式61x^2-5=y^2の解である。

(21m+164)/5が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=6

a=(126+164)/5=58,b=(164m+61・21)/5=453,k=(36-61)/(-5)=5

→(58,453)が方程式61x^2+5=y^2の解である。

(58m+453)/5が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=9

a=(522+453)/5=195,b=(453m+61・58)/5=(4077+3538)/5=1523,k=(81-61)/5=4

→(195,1523)が方程式61x^2+4=y^2の解である。

(195m+1523)/4が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=7

a=(1365+1523)/4=722,b=(1523m+61・195)/4=(22556)/4=5639,k=(49-61)/4=-3

→(722,5639)が方程式61x^2-3=y^2の解である。

(722m+5639)/3が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=8

a=(5776+5639)/3=3805,b=(5639m+61・722)/3=(89154)/3=29718,k=(64-61)/(-3)=-1

→(3805,29718)が方程式61x^2-1=y^2の解である。

(226153980,1766788898)は61x^2+1=y^2の解である。

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N=61の解はN<100では最大のものである。

計算が正しく行われていれば(m^2-N)/kはｋよりも順次小さくなる。

ｋ＝-1になった時点で「合成」

Du0^2+c0=v0^2

Du1^2+c1=v1^2のとき

D(u0v1+u1v0)^2+c0c1=(Du0u1+v0v1)^2が成り立つ

を用いた

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