x^2±Ny^2はどのような数（素数）を表示することができるだろうか

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．

　また，この積は２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができることを示しています（ａ＝ｂまたはｃ＝ｄのときは，積はたった１通りの方法で２つの平方数の和になります）．素数2を含め、4n+1型の素数はすべて2個の平方数の和になり、4n+3型素数はそのように表せないことはよく知られています。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ブラーマグプタの恒等式とは

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

ですが，Ｎ＝−１とおくとフィボナッチの等式が得られます．

（ｘ^2−Ｎｙ^2）（ｚ^2−Ｎｔ^2）＝（ｘｚ＋Ｎｙｔ）^2−Ｎ（ｘｔ＋ｙｚ）

　（ｘ^2−Ｎｙ^2）（ｚ^2−Ｎｔ^2）＝（ｘｚ−Ｎｙｔ）^2−Ｎ（ｘｔ−ｙｚ）

　（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ＋Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ−ｙｚ）

　（ｘ^2＋Ｎｙ^2）（ｚ^2＋Ｎｔ^2）＝（ｘｚ−Ｎｙｔ）^2＋Ｎ（ｘｔ＋ｙｚ）

3n+1型素数はすべて、x^2+3y^2

8ｎ+1型素数、8n+3型素数はすべてx^2+2y^2の形になります。

のみならず

3n+1型数の素因数はすべて、x^2+3y^2

8ｎ+1型数、8n+3型数素因数はすべてx^2+2y^2の形になります。

(x^2+3y^2)(u^2+3v^2)=(xu+3yv)^2+3(xv-yu)^2

(x^2+3y^2)(u^2+3v^2)=(xu-3yv)^2+3(xv+yu)^2

(x^2+2y^2)(u^2+2v^2)=(xu+2yv)^2+2(xv-yu)^2

(x^2+2y^2)(u^2+2v^2)=(xu-2yv)^2+2(xv+yu)^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(x^2+5y^2)(u^2+5v^2)=(xu+5yv)^2+5(xv-yu)^2

(x^2+5y^2)(u^2+5v^2)=(xu-5yv)^2+5(xv+yu)^2

はx^2+5y^2型の２数の積がまたこの形になることを示しています。ところが、この形の数の素因数は必ずしもこの形にならないのです。

たとえば、

21=1^2+5・2^2=3・7

161=6^2+5・5^2=7・23

3，7，23はこの形の数ではないのです。

→mod20で3または７余る素数の積にはx^2+5y^2型の数が現れる

x^2+5y^2型素数は1または9(mod20)である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

なぜなのだろう？　そこには何が生じているのだろうか？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝