■正多角形の作図と原始根（その２４８）
フェルマーの小定理とよばれるものは，
ａ^p＝ａ （ｍｏｄｐ）
ａ^p-1＝１ （ｍｏｄｐ）
すなわち，ｐを素数とするとａをどんな数にとっても余りが１になるというものである．
ａをランダムに選んでいって，それでも余りが１になればｐは素数の候補となるし，１以外の余りがひとつでも出ればｐは合成数であることになる．
とくに
ａ^p＝ａ （ｍｏｄｐ）
ａ^p-1＝１ （ｍｏｄｐ）
の後者はｚ^n＝１という円分方程式（円周等分方程式）との関係も取りざたされるところである．そこで，・・・
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ｎを奇素数とする，ｎで割り切れない任意の数ａに対し，
ａ，ａ^2，ａ^3，・・・，ａ^n-1 （ｍｏｄｎ）
を作る．このとき，常に
ａ^n-1＝１ （ｍｏｄｎ）
が成立するが，ａのベキの次数がｎ−１に到達する以前に，小さな次数ｋに対して
ａ^k＝１ （ｍｏｄｎ）
が成立することがある．
逆に，ｎ−１で初めて
ａ^n-1＝１ （ｍｏｄｎ）
が起こることもあり，そのような数ａを法ｎに関する原始根とよぶ．すなわち，原始根の周期はｎ−１といえるのである．
例として，ｎ＝１９，ａ＝２の場合を調べてみると
２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，２^5＝１３，２^6＝７
２^7＝１４，２^8＝９，２^9＝１８，２^10＝１７，２^11＝１５，
２^12＝１１，２^13＝３，２^14＝６，２^15＝１２，２^16＝５，
２^17＝１０，２^18＝１
→２は法１９に関する原始根である．
ｎ＝１９，ａ＝３の場合を調べてみると
３^1＝３，３^2＝９，３^3＝８，３^4＝５，３^5＝１５，３^6＝７
３^7＝２，３^8＝６，３^9＝１８，３^10＝１６，３^11＝１０，
３^12＝１１，３^13＝１４，３^14＝４，３^15＝１２，３^16＝１７
３^17＝１３，３^18＝１
→３は法１９に関する原始根である．
ｎ＝１９，ａ＝４の場合を調べてみると
４^1＝４，４^2＝１６，４^3＝７，４^4＝９，４^5＝１７，４^6＝１１
４^7＝６，４^8＝５，４^9＝１
→４は法１９に関する原始根ではない．
ｎ＝１９，ａ＝５の場合を調べてみると
５^1＝５，５^2＝６，５^3＝１１，５^4＝１７，５^5＝９，５^6＝７
５^7＝１６，５^8＝４，５^9＝１
→５は法１９に関する原始根ではない．
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どのような奇素数ｎに対しても法ｎに関する原始根は存在する（ガウス）．さらに，ガウスは円分方程式：ｚ^19＝１の１の１９乗根
ｚ＝ｃｏｓ（２π／１９）＋ｉｓｉｎ（２π／１９）
の解法がｎ＝１９に対してｎ−１＝３・３・２と素因数分解されることから，次数１９の円分方程式が２つの３次方程式とひとつの２次方程式の解法に帰着することを示している．詳細は
［参］高瀬正仁「アーベル・不可能の証明へ」現代数学社
を参照されたい．
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p=19の場合、
２^1＝２，２^2＝４，２^3＝８，２^4＝１６，２^5＝１３，２^6＝７
２^7＝１４，２^8＝９，２^9＝１８，２^10＝１７，２^11＝１５，
２^12＝１１，２^13＝３，２^14＝６，２^15＝１２，２^16＝５，
２^17＝１０，２^18＝１
y1=a^2+a^16+a^14+a^17+a^3+a^5=P'
y2=a^4+a^13+a^9+a^15+a^6+a^10=P"
y3=a^8+a^7+a^18+a^11+a^12+a^1=P
P^2=2P+P'+2P"+6
P^3+P^2-6P+7=0
y1,y2もまたこの3次方程式P^3+P^2-6P+7=0を満たす
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z1=a^2+a^17
z2=a^4+a^15
z3=a^8+a^11=Q'
z4=a^16+a^3
z5=a^13+a^6
z6=a^7+a^12=Q"
z7=a^14+a^5
z8=a^9+a^11
z9=a^18+a^1=Q
QQ'+Q'Q"+Q"Q=-P'-1
QQ'Q"=P'+2
Q,Q',Q"は
x^3-Px^2-(P'+1)x-(P'+2)=0を満たす。
Qは
x^2-Qx+1=0を満たす。
こうしてガウスは次数１９の円分方程式が２つの３次方程式とひとつの２次方程式の解法に帰着することを示したのである。
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