mod7で考える。

3^1=3,3^2=2,3^3=6,3^4=4,3^5=5,3^6=1

項の順番に従って２群に分けると

a^3+a^6+a^5

a^2+a^4+a

２群に分けると

a^3+a^4

a^2+a^5

a^6+a^1

正７角形の場合

z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0

z^3+z^2+z+1+1/z+1/z^2+1/z^3=0

(z^3+1/z^3)=y^3-3y

(z^2+1/z^2)=y^2-2

y^3-3y+y^2-2+y+1=0

y^3+y^2-2y-1=0

この方程式の解は2cos(2πk/7),k=1-3になる

2cos(2π/7)=1.24698

2cos(4π/7)=-0.445039

2cos(6π/7)=-1.80194

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y^3+y^2-2y-1=0

y=x-1/3とおく

x^3-x^2+x/3-1/27+x^2-2x/3+1/9-2x+2/3-1=0

x^3-7x/3-1/27+3/27-9/27=0

x^3-7x/3-7/27=0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

y1=a^3+a^4

y2=a^2+a^5

y3=a^6+a^1

はともに同じ方程式y^3+y^2-2y-1=0を満たす。

y1+y2+y3=-1

y1y2+y2y3+y3y1=-2

y1y2y3=1

元の6次方程式は(x^2-xy1+1)(x^2-xy2+1)(x^2-xy3+1)=0となる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝