［Ｑ］６１ａ^2＋１が平方数ｂ^2となるような，整数ａ，ｂを求めよ．

1766319049，226153980

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【１】チャクラバーラ法

チャクラバーラ法は近い方程式の解を見つけることから出発する

x=a,y=bがひとつの小さい数値ｋに対するNx^2+k=y^2の解であるとする

たとえばx=1,y=mはNx^2+(m^2-N)=y^2の解である。

このときブラーマグプタの恒等式より

N(am+b)^2+(m^2-N)k=(bm+Na)^2

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解になっている。

m＝8，N＝61 61+(64-61)=64

a=1,b=8,k=b^2-Na^2=3

ｍをam+bがｋで割り切れるようにとるとbm+Naもｋで割り切れることになり、

x=(am+b)/k,y=(bm+Na)/kはNx^2+(m^2-N)/k=y^2の解であって、(m^2-N)/kもまた整数である。

そこで、(m^2-N)/kがｋよりも小さくなるように工夫すれば、この操作の繰り返しによりNx^2+1=y^2の整数解が得られることになる。

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バースカラは(m+8)/3が整数となるものの中で、m^2-61ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=7

x=(15)/3=5,y=(56+61)/3=39,k=(49-61)/3=-4

→(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解であることを見つけ出す。

a=5,b=39,k=k=b^2-Na^2=-4

(5m+39)/4が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=9？

x=(15)/3=5,y=(56+61)/3=39,k=(49-61)/3=-4

5m+39=84,x=(5・9+39)/4=21,y=(39・9+61・5)/4=164,k=(81-61)/(-4)=-5

→(21,164)が方程式61x^2-5=y^2の解である。

(21m+164)/5が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=6？

a=(126+164)/5=58,b=(164m+61・21)/5=453,k=(36-61)/(-5)=5

→(58,453)が方程式61x^2+5=y^2の解である。

(58m+453)/5=が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=4？

a=(232+453)/5=137,b=(453m+61・58)/5=(1812+3538)/5=1070,k=(16-61)/5=-9

→(137,1070)が方程式61x^2-9=y^2の解である。

(137m+1070)/9が整数となるもののなかで、m^2-61ができる限り小さくなるようなものはｍ=5？

確かに継続可能のようであるがk=1にはなりそうにないので、打ち切り。

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a=1,b=8,K=3→61・1^2+3=8^2

(m+8)/3が整数となるものの中で、m^2-61ができる限り小さくなるものを見つけ出した→m=7

x=(am+b)/k=5,y=(bm+Na)/k=39,(m^2-N)/k=-4

→(5,39)が方程式61x^2-4=y^2の解であることを見つけ出す。

61(390)^2+16=(61・25+1521)^2

61(390/4)^2+1=(3046/4)^2

x=195/2,y=1523/2

61(296985/2)^2+1=(61・195・195/4+1523^2/4)^2

61(296985/2)^2+1=(2319525/4+2319529/4)^2

x=296985/2,y=2319527/2

61(688864726095/2)^2+1=(61・296985^2/4+2319527^2/4)^2

overflow

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