６７ｘ^2+１＝ｙ^2の解は、x=5967,y=48842ともともと小さくない

D・1^2+(m^2-D)=m^2

Du^2+b=v^2

を合成すれば

D(mu+v)^2+b(m^2-D)=(Du+mv)^2が得られる。

このとき、mu+vがｂの倍数ならば

D{(mu+v)/b}^2+(m^2-D)/b={(Du+mv)/b}^2が得られる。

u1=(mu+v)/bが整数ならば、b1=(m^2-D)/bもv1=(Du+mv)/b=+/-(Du1^2+b1)^1/2も整数

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　　６７ｘ^2+１＝ｙ^2

[1]任意に平方数、たとえば1^2=1をとり67・1^2+bがは平方数となるようなbを目の子で見つける。67・1^2-3=8^2

[2]b=-3とすれば67・1^2-3=64=8^2,u=1,v=8

[3]um+v=bn,この例ではm+8=-3n,m^2がなるべくDに近くなるようにmをとる。m=7とする。(m=8はｍ+8が3の倍数にならないのでNG)

[4]b1=(m^2-D)/b=(49-67)/(-3)=6とする,u1=|(um+v)/b|=|(1・7+8)/(-3))|=|-5|=5,v1=|(Du+mv)/b|=|123/(-3)|=41,(Du1^2+b1)^1/2=(67・25+6)^1/2=41

[5]67・5^2+6=41^2に対して、この手順を繰り返す。u=5,v=41,b=6

[6]5m+41=6n,|m^2-67|が小さいｍ→m=5(m=8は5ｍ+41が6の倍数にならないのでNG)

[7]b1=(m^2-D)/b=(25-67)/(6)=-7,u1=|(um+v)/b|=|(5・5+41)/(6))|=11,v1=|(Du+mv)/b|=|(67・5+5・41)/6|=90,=((Du1^2+b1)^1/2=(67・121-7)^1/2=90^2

[8]67・11^2-7=90^2,u=11,v=90,b=-7

[9]11m+90=-7n,|m^2-67|が小さいｍ→m=9(m=8は11ｍ+90が7の倍数にならないのでNG)

[10]b1=(m^2-D)/b=(81-67)/(-7)=-2,u1=|(um+v)/b|=|(11・9+90)/(-7))|=27,v1=|(Du+mv)/b|=|(67・11+9・90)/(-7)|=221,(Du1^2+b1)^1/2=(67・121-2)^1/2=221

[11]67・27^2-2=221^2

Du0^2+c0=v0^2

Du1^2+c1=v1^2のとき

D(u0v1+u1v0)^2+c0c1=(Du0u1+v0v1)^2が成り立つ

67(27・221+27・221)+4=(67・27・27+221・221)^2

67(11936)^2+4=(97684)^2

67(5967)^2+1=(48842)^2・・・x=5967,y=48842

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