ブラーマグプタの銘言に「数学者とは

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を１年以内に解ける人のことである」とあるそうです．

　［参］小野田博一「数学難問Best100」ＰＨＰ

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【１】ブラーマグプタの恒等式

　　（ｘ1^2−Ｎｙ1^2）（ｘ2^2−Ｎｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2＋Ｎｙ1ｙ2）^2−Ｎ（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

　そして，ブラーマグプタはこの恒等式を使って

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝１

を解いたそうです（６２８年）．

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　たとえば，ｘ＝１０，ｙ＝１のとき

　　ｘ^2−９２ｙ^2＝８

比較的小さい値なので，これを使うことにする．

［１］ブラーマグプタの恒等式に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝１０，ｙ1＝ｙ2＝１

を代入すると

　　８^2＝１９２^2−１９２・２０^2

　　１＝２４^2−９２・（５／２）^2

［２］ブラーマグプタの恒等式に

　　Ｎ＝９２，ｘ1＝ｘ2＝２４，ｙ1＝ｙ2＝５／２

を代入すると

　　１＝１１５１^2−９２・１２０^2

　したがって，（ｘ，ｙ）＝（１１５１，１２０）はペル方程式の整数解となる．

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　　９２ｘ^2+１＝ｙ^2

[1]任意に平方数、たとえば1^2=1をとり、92・1^2+b0は平方数となるようなb0を目の子で見つける。

[2]b0=8とすれば92・1^2+8=100=10^2

[3]これでDx0^2+b0=y0^2な組[1,10,8]が見つかった。

[4]ｙの新しい値として、y1=Dx0^2+y0^2=192

[5]ｘの新しい値として、x1=x0y0+x0y0=2x0y0=20

[6]ｂの新しい数としてb1=b0^2=64

[7]92・20^2+64=192^2

[8]x1,y1をb0で割って(x2,y2)=(5/2,24)を得る

[9]y3=Dx2^2+y2^2=1151

[10]x3=2x2y2=120

[11]92・120^2+1=1151^2

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すなわち、

Du0^2+c0=v0^2

Du1^2+c1=v1^2のとき

D(u0v1+u1v0)^2+c0c1=(Du0u1+v0v1)^2が成り立つ

D=92,u0=1,c0=8,v0=10

u1=u0,c1=c0,v1=v0とおく。

92・20^2+64=192^2

92・(20/8)^2+1=(192/8)^2

92・(5/2)^2+1=(24)^2

u0=u1=5/2,v0=v1=24

92・(120)^2+1=(1151)^2

うまく割り切れる場合はc0=8でも求められることになる

インドの数学者がなぜペル方程式に興味を持ったかは今でも謎である。

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　　６７ｘ^2+１＝ｙ^2の場合もうまくいくであろうか？

D=67,u0=5,c0=6,v0=41

u1=u0,c1=c0,v1=v0とおく。

67・410^2+36=(67・25+1681)^2

67・(410)^2+36=(3356)^2

67・(410/6)^2+1=(3356/6)^2・・・うまい近似解が求まらない

D=67の場合は(48842,5967)が解となるのであるが

u0=u1=27,c1=c0=-2,v1=v0=221のような・・・うまい近似解が必要となる。

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D=67,u0=1,c0=-3,v0=8ではどうだろうか？

u1=u0,c1=c0,v1=v0とおく。

67・16^2+9=(67・1+64)^2

67・(16/3)^2+1=(131/3)^2・・・うまい近似解が求まらない

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