【１】ｅp（ｎ！）の上限

　　ｅp（ｎ！）＜ｎ／ｐ＋ｎ／ｐ^2＋＋ｎ／ｐ^3＋・・・

＝ｎ／ｐ（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）

＝ｎ／（ｐ−１）

　ｐ＝２，ｎ＝１００の場合は，９７＜１００となり，真の値９７にかなり近い．

　　ｅ2（１００！）＝［１００／２］＋［１００／２^2］＋［１００／２^3］＋［１００／２^4］＋［１００／２^5］＋［１００／２^6］＝９７

　ｐ＝５，ｎ＝１０００の場合は，２４９＜２５０となり，真の値２４９にかなり近い．

　　ｅ5（１０００！）＝［１０００／５］＋［１０００／５^2］＋［１０００／５^3］＋［１０００／５^4］＝２００＋４０＋８＋１＝２４９

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］１０００！／１０^250は整数であるか？

［Ａ］　　［１０００／５］＋［１０００／５^2］＋［１０００／５^3］＋［１０００／５^4］＝２００＋４０＋８＋１＝２４９

　１０の倍数は２４９個．したがって，１０００！／１０^249は整数であるか，１０００！／１０^250は整数とはならない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　それでは

［Ｑ］１０００！＝？　　（ｍｏｄ１０^250）

［Ａ］　　ｅ2（１００！）＝［１００／２］＋［１００／２^2］＋［１００／２^3］＋［１００／２^4］＋［１００／２^5］＋［１００／２^6］＝９７

　　ｅ2（１０００！）＞５００

　　ｅ5（１０００！）＞２４９

　したがって，ある偶数ａがあって，

　　１０００！＝ａ・１０^249

また，１０００＝（１３０００）5より

　　ａ・２^249＝１０００！／５^249＝−１　（ｍｏｄ５）

　　２^249＝２　（ｍｏｄ５）

　　ａ＝２　（ｍｏｄ１０）→ａ＝２または７　（ｍｏｄ１０）

　　ａは偶数であるから，ａ＝２．

［Ａ］１０００！＝２・１０^249　　（ｍｏｄ１０^250）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝