以前、三角数かつ五角数かつ六角数である最小の数ｎが40755であることを計算したことがある。

つまりn=p(p-1)/2=(3q^2-q)/2=2r^2-rを満たす最小のｎである。

三角数においてｐ＝2ｒとおくと

2r(2r-1)/2=r(2r-1)であるから、五角数かつ六角数としても同値である。

五角数かつ六角数となるｎはいくつになるのだろうか？

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3q^2-q=4r^2-2r

左辺を3a^2倍すると

9a^2q^2-3a^2q+b^2=(3aq-b)^2

3a^2=6ab

a=2b,b=1,a=2

右辺をa^2倍すると

4a^2r^2-2a^2r+b^2=(2aq-b)^2

2a^2=4ab

a=2b,b=1,a=2

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36q^2-12q=48r^2-24r

(6q-1)^2-1=3(4r-1)^2-3

(6q-1)^2-3(4r-1)^2=-2

ペル方程式に帰着されるが

P^2-3Q^2=-2

右辺が+/-(1,4,9,・・・)でないため、うまい解法が使えない。

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(3q^2-q)/2=2r^2-r=40755

3q^2-q=81510

q=1/6・(1+(1+12・81510)^1/2)=(1+989)/6=165

2r^2-r=40755

r=1/4・(1+(1+8・40755)^1/2)=(1+571)/4=143

P=6q-1=989

Q=4r-1=571

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989^2-3・571^2=-2

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