もっと簡単な例として

（180-45√5）^1/2＋（86−38√5）^1/2＝（56＋19√5）^1/2

を取り上げる

（180-45√5）^1/2＋（86−38√5）^1/2=9.92398

（56＋19√5）^1/2=9.92397

x^2=（56＋19√5）

(x^2-56）^2=1805

x^4-112x^2+1331=0

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{x-（180-45√5）^1/2}^2=86−38√5

x^2-2（180-45√5）^1/2・x+180-45√5=86−38√5

x^2+94-7√5=-2（180-45√5）^1/2・x

(x^2+94)^2-14√5(x^2+94)+245=4（180-45√5）x^2

x^4+188x^2+8836+245-720x^2=2√5(7x^2+654)-2√5(90x^2)=-2√5(83x^2+654)

x^4-532x^2+9081=-2√5(83x^2+654)

(x^4-532x^2+9081)^2=20(83x^2+654)^2

これとてかなり面倒な計算となるようだ

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この等式を示すには、それぞれの数を根とする多項式を見つめ、その最大公約多項式を計算するのが正攻法と思われたが、計算はかなり面倒になる。

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左辺のみ2乗する。

X^2=（180-45√5）＋（86−38√5）+2（180-45√5）^1/2（86−38√5）1/2

=266-83√5+2{15480+8550-(6840+3870)√5}^1/2

=266-83√5+2{24030-(10710)√5}^1/2=56＋19√5

2{24030-(10710)√5}^1/2=-210+102√5かどうかという問題になる。

{24030-(10710)√5}^1/2=-105+51√5は成り立つ

これであれば辺々２乗するのと大差なし

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