一見異なる形をしている2つの数

√5＋(22+2√5)^1/2

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2は同じ数なのです。

数値的に検証すると

√5＋(22+2√5)^1/2=7.38118

(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2=7.38118

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２乗を繰り返してルートを消去。高次方程式が得られたら因数分解して共通因子を探すしかないと思われる。

x=√5＋(22+2√5)^1/2

x^2-2√5x+5=22+2√5

x^2-17=2√5(x+1)

x^4-34x^2+289=20(x^2+2x+1)

x^4-54x^2-40x+269=0

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x=(11+2√29)^1/2+{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2=(11+2√29)+16-2√29+2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

x^2-27=2(55-10√29)^1/2+2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

(x^2-27)/2=(55-10√29)^1/2+(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=(55-10√29)+(11+2√29){16-2√29+2(55-10√29)^1/2}+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=(55-10√29)+(60+10√29)+2(11+2√29)(55-10√29)^1/2+2(55-10√29)^1/2(11+2√29)^1/2{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

=115+10(11+2√29)^1/2+10{16-2√29+2(55-10√29)^1/2}^1/2

{(x^2-27)/2}^2=115+10x

x^4-54x^2-40x+269=0

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これで、それぞれの数を根とする多項式を見つけることができて、この等式を示すことができた。

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