■x^105−1の因数分解(その6)

 4x^4+1=(2x^2−2x+1)(2x^2+2x+1),x=2^n

すなわち,

  2^58+1=(2^29−2^15+1)(2^29+2^15+1)

はx=2^14のときの特別なケースであることを発見しました.

リュカはこれを一般化して

  2^4n+2+1=(2^2n+1−2^n+1+1)(2^2n+1+2^n+1+1)

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 フェルマー数

  2^512+1,2^1024+1,2^2048+1,2^4096+1,・・・

は素数ではない.それでは,

  2^214+1

は素数だろうか?

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 この判定には直接的な方法が使える.

  4x^4+1=(2x^2+2x+1)(2x^2−2x+1)

したがって,

  2^214+1=(2^107−2^54+1)(2^107+2^54+1)

は素数ではない.

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